Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV ALESC 2024 (nº 22)

Em Análise Combinatória, usamos Arranjo quando a ordem dos elementos importa (ex: presidente e vice-presidente são cargos distintos), e Combinação quando a ordem não importa (ex: dois secretários são um par, a ordem em que são escolhidos não muda o par).

Para resolver, dividimos o problema em etapas:

1. Escolha do Presidente: Há 6 candidatos para o cargo de Presidente. (6 opções)
2. Escolha do Vice-Presidente: Após a escolha do Presidente, sobram 5 candidatos para o cargo de Vice-Presidente. (5 opções)
   Até aqui, para Presidente e Vice-Presidente, temos $6 \times 5 = 30$ maneiras (um Arranjo de 6 elementos tomados 2 a 2, $A_6^2$).
3. Escolha dos dois Secretários: Sobraram 4 candidatos. Precisamos escolher 2 deles para serem os secretários. Como os dois cargos de secretário são do mesmo nível (a ordem entre eles não importa), usamos Combinação.
   Número de maneiras de escolher 2 secretários de 4 candidatos: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ opções.
4. Total de diretorias: Multiplicamos as opções de cada etapa: $30 \times 6 = 180$.

Alternativas:

• (A) Incorreta: Não corresponde a uma interpretação correta dos requisitos do problema.
• (B) Incorreta: Esta alternativa resultaria se os cargos de Presidente e Vice-Presidente fossem tratados como intercambiáveis (usando $C_6^2 = 15$ para eles) e os secretários como $C_4^2 = 6$, resultando em $15 \times 6 = 90$. Armadilha da banca: O erro aqui seria tratar os cargos de Presidente e Vice-Presidente como não ordenados, aplicando Combinação onde deveria ser Arranjo.
• (C) Incorreta: Esta seria a resposta se fossem escolhidos apenas 3 cargos distintos de 6 pessoas ($A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$).
• (D) Correta: O cálculo correto é $A_6^2 \times C_4^2 = (6 \times 5) \times \frac{4!}{2!2!} = 30 \times 6 = 180$. Isso considera que Presidente e Vice-Presidente são cargos distintos (Arranjo), e os dois Secretários são cargos do mesmo nível (Combinação).
• (E) Incorreta: O erro aqui seria considerar que os dois cargos de secretário são distintos entre si (por exemplo, "Primeiro Secretário" e "Segundo Secretário"), o que levaria a usar um Arranjo para os quatro cargos ($A_6^4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$). Armadilha da banca: Esta alternativa explora a confusão entre "dois secretários" (onde a ordem não importa para a dupla) e "secretário 1 e secretário 2" (onde a ordem importaria).