Questão de Probabilidade e Estatística · CESGRANRIO BB 01/2022 (nº 30)

O Teorema de Bayes serve para atualizar uma probabilidade quando chega uma informação nova. Aqui, a informação nova é "o cliente entrou no cheque especial", e queremos saber a chance de ele ser do tipo A, invertendo a pergunta (antes sabíamos a chance de usar o cheque dado o tipo; agora queremos o tipo dado o uso). A fórmula é: $P(A|Uso) = \frac{P(A) \cdot P(Uso|A)}{P(Uso)}$, onde $P(Uso)$ é a soma das probabilidades de usar em cada tipo, ponderadas pela proporção de cada tipo.

• (A) Incorreta: 65% é um valor que surge se o aluno simplesmente somar 80% + 10% e dividir por 2 (média simples), ignorando que a proporção de clientes tipo A (30%) é menor que a de B (70%). Isso não usa o Teorema de Bayes.
• (B) Incorreta: 70% seria o resultado se o aluno calcular $P(A) \cdot P(Uso|A) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24$ e depois dividir por $0{,}3$ (usando só a proporção de A no denominador, esquecendo de somar a contribuição dos clientes tipo B).
• (C) Correta: Cálculo correto: $P(Uso) = 0{,}3 \times 0{,}8 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}24 + 0{,}07 = 0{,}31$. Então $P(A|Uso) = \frac{0{,}24}{0{,}31} \approx 0{,}774 \approx 77\%$. A pegadinha é esquecer de incluir no denominador os clientes tipo B que também usam o cheque (10% de 70% = 7%), o que faria o aluno achar 80% ou um valor maior.
• (D) Incorreta: 82% é um distrator clássico: o aluno calcula $P(A|Uso)$ como $\frac{0{,}8}{0{,}8+0{,}1} = \frac{0{,}8}{0{,}9} \approx 0{,}89$ e depois "arredonda" para baixo, ou simplesmente confunde a probabilidade de usar dado que é A (80%) com a probabilidade de ser A dado que usou, sem ponderar pela proporção de tipos na agência.
• (E) Incorreta: 85% é outro valor que surge se o aluno fizer $\frac{0{,}3 \times 0{,}8}{0{,}3 \times 0{,}8 + 0{,}3 \times 0{,}1} = \frac{0{,}24}{0{,}27} \approx 0{,}89$, mas depois subtrai algo aleatório, ou se ele simplesmente "chuta" um valor alto por achar que 80% é dominante, sem fazer a conta do denominador completo.