Questão de Matemática · CESGRANRIO BB 01/2022 (nº 17)

Conceito-chave: A arrecadação é o produto entre o número de estudantes e o valor pago por cada um. Como o valor pago aumenta quando há vagas vazias, criamos uma função quadrática (parábola) e o máximo dela ocorre no vértice, cujo $x$ é dado por $x_v = -\frac{b}{2a}$.

• (A) Incorreta: Se $x = 35$ (resto 0), a arrecadação seria $35 \times (660 + 30 \times 35) = 35 \times 1710 = 59850$, menor que o máximo.
• (B) Correta: Seja $x$ o número de estudantes. O valor pago por cada um é $660 + 30(70 - x) = 2760 - 30x$. A arrecadação é $R(x) = x(2760 - 30x) = -30x^2 + 2760x$. O vértice é $x_v = -\frac{2760}{2 \times (-30)} = 46$. Dividindo 46 por 5, o resto é 1.
• (C) Incorreta: $x = 42$ (resto 2) daria $R(42) = 42 \times (2760 - 1260) = 63000$, inferior ao máximo de $R(46) = 46 \times (2760 - 1380) = 63480$.
• (D) Incorreta: $x = 43$ (resto 3) daria $R(43) = 43 \times 1470 = 63210$, ainda abaixo do máximo.
• (E) Incorreta: $x = 44$ (resto 4) daria $R(44) = 44 \times 1440 = 63360$, próximo, mas não é o máximo (a parábola atinge o pico em 46, não em 44). Armadilha da banca: muitos alunos testam valores inteiros próximos e acham que 44 ou 45 dão o maior valor, esquecendo que o vértice exato é 46, que não é múltiplo de 5.