Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SMF-RJ 2023 - Manhã (P1) (nº 30)

Uma sequência ordenada de números inteiros consecutivos é uma lista de números que seguem um padrão de aumento de um em um (ex: 5, 6, 7, 8). Para resolver este problema, podemos usar a propriedade de que, em uma sequência aritmética com diferença 1, a diferença entre a soma da segunda metade dos termos e a soma da primeira metade dos termos é igual ao quadrado da quantidade de termos em cada metade.

Vamos chamar $n$ o número total de elementos do conjunto A. Como $n$ é par, cada metade terá $n/2$ elementos.
A soma da metade dos menores números (primeiros $n/2$ elementos) é $S_1 = 35$.
A soma da metade dos maiores números (últimos $n/2$ elementos) é $S_2 = 60$.

Em uma sequência de números inteiros consecutivos (onde a razão é 1), se dividirmos a sequência em duas metades iguais de $k$ termos cada (onde $k = n/2$), a diferença entre a soma da segunda metade ($S_2$) e a soma da primeira metade ($S_1$) é exatamente $k^2$.
Ou seja, $S_2 - S_1 = (n/2)^2$.

Substituindo os valores dados:
$60 - 35 = (n/2)^2$
$25 = (n/2)^2$

Para encontrar $n/2$, tiramos a raiz quadrada de 25:
$\sqrt{25} = n/2$
$5 = n/2$

Agora, para encontrar $n$, multiplicamos por 2:
$n = 5 \times 2$
$n = 10$

Portanto, o número de elementos de A é 10.

(A) Correta: O número de elementos é 10. Conforme a dedução, a diferença entre a soma da metade dos maiores números e a soma da metade dos menores números ($60 - 35 = 25$) é igual ao quadrado da quantidade de elementos em cada metade ($n/2$), ou seja,$(n/2)^2 = 25$, o que implica$n/2 = 5$e, portanto,$n = 10$. **(B) Incorreta:** Se houvesse 12 elementos, cada metade teria 6 elementos. A diferença esperada nas somas seria$6^2 = 36$, mas a diferença dada é 25. **(C) Incorreta:** Se houvesse 14 elementos, cada metade teria 7 elementos. A diferença esperada nas somas seria$7^2 = 49$, mas a diferença dada é 25. **(D) Incorreta:** Se houvesse 16 elementos, cada metade teria 8 elementos. A diferença esperada nas somas seria$8^2 = 64$, mas a diferença dada é 25. **(E) Incorreta:** Se houvesse 18 elementos, cada metade teria 9 elementos. A diferença esperada nas somas seria$9^2 = 81$, mas a diferença dada é 25.