Questão de Economia e Finanças Públicas · FGV SEFAZ-RJ 2011 - Prova 1 (nº 47)

Para minimizar os custos de produção, uma firma busca a combinação de insumos ($X$ e $Y$) que permite produzir uma determinada quantidade ($Q$) ao menor custo total possível. Isso envolve encontrar o ponto onde a taxa marginal de substituição técnica (a relação de troca entre os insumos na produção) se iguala à razão dos preços dos insumos.

Vamos resolver o problema:

1. Função de produção: Q = XY\
2. Custo total: C = 10X + 20Y + 200\
3. Quantidade a produzir: $Q = 200$

Primeiro, substituímos $Q=200$ na função de produção: $200 = XY$.
Podemos expressar $Y$ em termos de $X$: $Y = 200/X$.

Agora, substituímos $Y$ na função de custo total para ter uma função de custo apenas em termos de $X$:
$C(X) = 10X + 20(200/X) + 200$
$C(X) = 10X + 4000/X + 200$

Para encontrar o custo mínimo, derivamos $C(X)$ em relação a $X$ e igualamos a zero:
$dC/dX = 10 - 4000/X^2 = 0$
$10 = 4000/X^2$
$10X^2 = 4000$
$X^2 = 400$
$X = \sqrt{400} = 20$ (pois a quantidade de insumo não pode ser negativa)

Agora, encontramos o valor de $Y$ usando $Y = 200/X$:
$Y = 200/20 = 10$

Finalmente, substituímos os valores ótimos de $X=20$ e $Y=10$ na função de custo total para encontrar o custo mínimo:
$C = 10(20) + 20(10) + 200$
$C = 200 + 200 + 200$
$C = 600$

(A) Incorreta: O valor de 400 seria o custo variável ($10X + 20Y$) se $X=20$ e $Y=10$, mas desconsidera o custo fixo de 200.
(B) Incorreta: Este valor é muito baixo e não pode ser obtido por cálculos corretos de minimização de custos para esta produção.
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a uma combinação ótima de insumos ou a um erro comum de cálculo.
(D) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. Se, por engano, você assumir que $X=10$ e $Y=20$ (o que também resulta em $Q=200$), o custo seria $10(10) + 20(20) + 200 = 100 + 400 + 200 = 700$. Embora essa combinação produza 200 unidades, ela não é a mais barata, pois não satisfaz a condição de minimização de custos ($MP_X/P_X = MP_Y/P_Y$ ou $MP_X/MP_Y = P_X/P_Y$).
(E) Correta: O custo mínimo é 600, obtido ao utilizar $X=20$ e $Y=10$ unidades dos insumos, que é a combinação mais eficiente para produzir 200 unidades.